考研数学 | 常考题型及重点(3)：多元函数积分学、无穷级数
题型分析广工考研院联合广工学长学姐针对考研数学开设考点分析主题。本文着重讲解考研数学的重点，考研鹅可自行查缺补漏。第六章、多元函数积分学思考与点拨多元函数积分学包括各类积分的概念、计算和应用；格林公式、高斯公式和斯托克斯公式及其应用；平面曲线积分与路径无关及全微分式的原函数问题等.在历年的考试中多元函数积分学占有最重要的地位，平均分数约占高等数学总分的1／4.本章的考题类型及知识点大致有：1.二重积分的计算及应用：(1)二重积分在直角坐标中的计算(单独未考过，在其他题中出现过)；(2)二重积分在极坐标中的计算与直极互化(2006二(8)题，2001八题，2005三(15)题，2006三(15)题)；(3)交换积分次序(2001一(3)题，2004二(10)题，1990一(4)题考过)；(4)绝对值函数的二重积分(二次积分)的计算(未考过)；(5)分块函数的二重积分(二次积分)的计算(2002五题，2005三题)；(6)利用对称性、轮换对称性化简计算(2003五题，2006三(15)题，2009～(2)题)；(7)二重积分的证明题与二重积分的估值(2003五题)；(8)三重积分的应用(2001八题).2.三重积分的计算及应用：(1)三重积分在直角坐标中的计算(单独未考过)；(2)三重积分在球面坐标与柱面坐标中的计算(2005一(4)题，2006一(3)题，1997三(1)题，2000八题，2003八题，2009二(12)题)；(3)利用对称性、轮换对称性化简计算(2000八题，1995三(2)题考过)；(4)三重积分的应用(2000八题).
3.化多重积分为定积分：(1)化二重积分为变限积分求导问题(2004二(10)题)；(2)化二重积分为定积分求其中未知函数(数学(三)1997八题考过)；(3)化其它积分为定积分或二重积分的证明题(2003五题，2003八题).
4.第一型曲线积分与第型曲面积分：(1)计算(1999八题，2009二(11)题)；(2)利用对称性、轮换对称性化简(1998一(3)题，2000二(2)题，2007二(14)题)；(3)应用(未考过).
5.平面第二型曲线积分及应用：(1)用参数式计算(2004—(3)题，2000五题，2003五题)；(2)用格林公式或加、减弧段格林公式法(1999四题，2003五题，2008三(16)题)；(3)路径无关问题与原函数法(1998四题，1999四题，2002六题，2005三(19)题，2006三(19)题，2007一(6)题)；(4)与微分方程有关的问题(2005三(19)题)；(5)挖洞法(2000五题)；(6)应用(1990九题考过).
6.第二型曲面积分及应用：(1)用投影法计算(1998六题，2001六题，2004三(17)题)；(2)用高斯公式或加、减曲面片高斯公式法(2005一(4)题，2006一(3)题，1998六题，2000六题，2004三(17)题，2007三(18)题，2008二(12)题)；(3)转换投影法或化成第一型曲面积分计算(2001六题，2004三(17)题)；(4)挖洞法(2009三(19)题)；(5)与微分方程有关的问题(2000六题).
7.空间第二型曲线积分：(1)用参数式计算(1997三(2)题，2001六题)；(2)用斯托克斯公式计算(1997三(2)题，2001六题)；由以上可见，本章在数学(一)中的地位至关重要，考分占总分的1／6，考得最多的是(1)二重积分：包括极坐标中计算，交换积分次序，利用对称性、轮换对称性化简计算；(2)三重积分：包括在球面坐标、柱面坐标中的计算，利用对称性、轮换对称性化简计算；(3)平面第二型曲线积分：包括用参数式计算，用格林公式或加、减弧段格林公式计算，路径无关问题的讨论与路径无关问题计算该积分，原函数法与求原函数，与微分方程相结合的题；(4)第二型曲面积分：包括用投影法计算，用高斯公式或加、减曲面片高斯公式法计算，转换投影法计算或化成第一型曲面积分计算，与微分方程相结合的题。
以上各类题的计算，都有一套规X的方法.关键是选择方便而有效的方法，可以起到事半功倍的作用.以上诸项中，“3”以及“5(3)”，有时涉及一些理论，可能会有点困难.但是，正如俗话所说“熟能生巧”，熟了也就不难了。第七章、无穷级数思考与点拨级数部分包括级数的若干基本概念，判别级数的敛散性(包括条件收敛与绝对收敛)的各种方法，幂级数的收敛性与和函数的性质，幂级数收敛域的求法，求幂级数的和函数与求函数的幂级数展开式的方法，还有傅里叶级数和它的和函数等.此部分在历年试题中的平均分数约占高等数学总分的l／6。
若分为数值级数、幂级数与傅氏级数三大部分，则幂级数部分考得最多，占级数总分的一半还强，求幂级数的收敛域，实质上就是级数敛散性的判断，若把它划入级数敛散性判断部分，这部分的分数将接近级数总分的一半。
求一般函数项级数的收敛域在考试大纲中也是要求的，但从未考过.不过这个问题实质上也是级数敛散性的判断问题。本章的考题类型及知识点大致有：
1.数项级数判敛：(1)给出具体的数项级数判敛(1999二(3))题考过，1992二(2)题考过，1995二(4)题考过；(2)已知某抽象数项级数的敛散性，讨论与此有关的另一些级数的敛散性(2000二(3)题)，2002二(2)题，2004二(9)题，2006二(9)题，2009一(4)题)；(3)通项由某些条件(具体或抽象)给出，讨论该级数的敛散性(1997六题，1998八题，1999九题，2004三(18)题)；(4)讨论交错级数或任意项级数的敛散性(2000七题).
2.关于幂级数：(1)求幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域(2000七题，2005三(16)题，2008二(11)题，1995一(4)题考过)；(2)已知幂级数在某点收敛或发散或条件收敛，或已知收敛半径，讨论另一与此有关的幂级数在另一点处的敛散性，或求收敛半径、收敛区间(的X围)(1997一(2)题)；(3)将函数展开成x－x0的幂级数并求收敛域，并求某数项级数的和(2001五题，2003四题，2006三(17)题)；(4)求幂级数的和函数或可通过幂级数求和的数项级数求和(2005三(16)题，1990四题考过)；(5)验证或设某幂级数满足某微分方程从而求此幂级数的和函数(2002七题，2007三(20))；(6)求某些数项级数的和(1999九题，2009三(16)题).
3.傅里叶级数：(1)求傅里叶系数或傅里叶级数(2003一(3)题，2008三(19)，1991五题考过，1993一(3)题考过)；(2)按正弦展开或按余弦展开求其傅里叶系数或傅里叶级数(1995四(2)题考过)；(3)按狄利克雷定理求傅里叶系数在某点的收敛和(1999二(3)题，1989二(4)题考过，1992一(3)题考过)；(4)由傅里叶级数讨论与此有关的另一些数项级数的和(2008三(19)题，1991五题考过)
由以上可见，数项级数判敛问题中的1(1)，早期考过几次，后来不考了.近期考得多的是1(2)与1(3).函数展开成幂级数并讨论其成立X围，以及简单幂级数求和，仍是考试热点，考生对此应引起足够重视.函数展开成幂级数采用间接展开法，有一套规X步骤.简单幂级数求和，虽说有一点难度，但作为考研来说，处理的手法还是有法可依.傅里叶级数的考题较简单，由于求傅里叶级数计算量大，所以考得较少，按狄利克雷定理求某点处的收敛和，相对说来考得较多，考生对此应足够重视。
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