考研数学 | 常考题型及重点(4)：常微分方程、行列式
题型分析广工考研院联合广工学长学姐针对考研数学开设考点分析主题。本文着重讲解考研数学的重点，考研鹅可自行查缺补漏。第八章、常微分方程思考与点拨
微分方程问题是积分问题的延伸，有着极为广泛的应用，是历年考研必考内容.在高等数学部分，微分方程在数学一中平均每年所占分数约为15％.本章的考试类型及知识点大致有：
1.12种典型类型求解以及自由项为特殊情形时的线性非齐次方程特解y＊的设定：(1)一阶5种类型求解(2005(2)题，2006一(2)题，2008二(9)题，1992一(4)题，1993二(4)题，1993三(3)题，1994五题均考过)；(2)二阶可降阶3种类型求解(2000一(3)题，2002一(3)题)；(3)二阶及高阶常系数线性齐次方程与非齐次方程3种类型求解(1999 —(3)题，2007二(13)题，2008一(3)题，2009二(10)题)；(4)欧拉方程求解(2004一(4)题)；(5)y＊的设定(数学(二)考过).
2.线性非齐次微分方程与对应的线性齐次微分方程的解的关系：(1)已知非齐次方程的解求对应的齐次方程的(通)解(未考过)；(2)已知非齐次方程足够多的解求该非齐次方程的通解(1989二(3)题考过，2006数学(三)、(四)考过.
3.已知(通)解求微分方程：(1)未说明方程是什么形式，已知通解求微分方程(未考过)；(2)已知二阶(或一阶或更高阶)线性方程的通解(或若干个线性无关的特解)求该方程(2001(1)题，2009二(10)题).
4.自由项为绝对值函数或有间断点的函数的线性微分方程求解：(1)自由项为绝对值函数的情形(未考过)；(2)自由项为有跳跃间断点的函数的情形(数学(三)1999六题考过).
5.经变量变换解微分方程： (1)经反函数变量变换(2003七题)； (2)给出已知的变量变换(数学(二)考过多次).
6.将积分方程或偏微分方程化成微分方程求解：(1)积分方程化为微分方程求解(1991二(2)考过)； (2)偏微分方程化为微分方程求解(1997四(2)题，2006三(18)题).
7.微分方程的应用(1)几何方面(1999五题，1995五题考过，1996六题考过)；(2)物理方面(1998五题，2004三(16)题)；(3)变化率方面(1997三(3)题，2001八题)。
由上可见，本章常考的是“1”与“7”.有许多类型未命过题或很少命题，命题空间很大，例如1(5)，4，以及6可以与其他章节结合来命题，值得重视。线性代数
第九章、行列式思考与点拨行列式在整个试卷中所占比重不是很大，一般以填空题，选择题为主，但它是必考内容当然，不只是考查行列式的概念、性质、运算，还会涉及到其他各章、节的内容，例如矩阵的可逆、矩阵的秩、向量的线性相关性、线性方程组、矩阵的特征值、正定二次型等等，如果试卷中没有独立的行列式的试题，那必然会在其他章节的试题中得到体现。一般有关行列式的试题有两大类：计算题和判断题
1.行列式的计算题.例如：计算行列式https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/O5RGCoxmEZwAvy5KPOdPZo4jvR7TMY6tEyfoVibiaOkal08aFldnZ5cvNdaBGqBgLicX337kcK5D6NSQeDkdKZniaQ/640?wx_fmt=png计算行列式的值https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/O5RGCoxmEZwAvy5KPOdPZo4jvR7TMY6tIvw3cicEIr1VscOHGK8qIK9YuvjyKu9WCibJjQl6tzIcrf8O5WiaTjyoQ/640?wx_fmt=png这类属于数字型的直接计算题，一般利用性质，消零展开或消零化成上(下)三角形行列式即可解决。
多数行列式的试题，属于与后续章节有关的、抽象型的行列式的计算题，如1.1题，1.2题这类题增加了考核的知识点，有一定的综合性.要求考生充分利用题设条件，通过知识的内在联系，化简、运算，最后得出所求行列式的值。
(2)行列式的判别题，主要是判别行列式是否为零.例2.1题，因为行列式是否为零对矩阵是否可逆、是否满秩，对方程组An×n X=O是否有非零解，An×n X=b是否有唯一解，对A中的列(行)向量组是否线性相关等都起到了“分水岭”的作用，会引起矩阵重要性质的变化。
︳An×n︳是否为零，除直接计算出︳A ︳=O(或≠0)，或计算出︳A ︳=k︳A ︳，其中k≠1，︳An×n︳=0(≠0)⇔An×n不可逆(可逆)⇔r(A)<n< span="">，不满秩(=n，满秩)⇔An×n X=O有非零解(只有零解)⇔An×n X=b有唯一解(解不唯一；可能无解；若有解，则为无穷解)⇔An×n 的n个行(列)线性相关(线性无关)注意这些都是充分必要条件，可以相互判别。https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/znb3qSD7qtlIZ2XKJhCHR8kLT2a8UYxhqd0DLdcxYVrcMViaz9729IEoRc5FXHpJb5icU0a3M9aZ5G5QLcw6YvVg/640?wx_fmt=jpeghttps://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/znb3qSD7qtnoO81Od0rgspdUs2sh1AKzoMUYRhaaF94NicfDkBJ8fqCZlX2MKO7Q9F9OMQY6jRbOTYLejaTxY3A/640?wx_fmt=png
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