考研数学 | 常考题型及重点(5)：矩阵、向量
题型分析广工考研院联合广工学长学姐针对考研数学开设考点分析主题。本文着重讲解考研数学《线性代数》的重点，考研鹅可自行查缺补漏。线性代数第二章、矩阵思考与点拨
矩阵及其运算是线性代数的核心，后续各章的基础，考点较多，重点考点是逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程，这几年还频频出现初等变换与初等阵的试题，应注意到的大致有以下几部分内容.1.基本运算：要搞清概念，熟练掌握运算规则并保证运算的正确性，重点关注以下几点。(1)搞清能否运算，怎样运算，运算结果是什么.(2)搞清数的运算、行列式的性质，与矩阵运算的区别.(3)充分利用运算规则，如计算中结合律、分配律的利用，但矩阵运算没有交换律，消去律.
2.逆矩阵：理解逆矩阵的概念，掌握运算法则，掌握矩阵可逆的充分必要条件，会证矩阵可逆，并能正确求出逆矩阵。求逆矩阵的方法：对数值矩阵，一般有(1)公式法.A-1=1/︳A ︳A＊，特别适用二阶矩阵；(2)初等变换法.→.对抽象矩阵，一般有(3)定义法，化成AB=E，则A可逆，且A-1=B；(4)化成已知可逆矩阵的乘积，即若化成A=BC，其中B，C均是可逆阵，则A可逆，A-1=(BC)-1=C-1B-1.证明A可逆的方法： A可逆⇔︳A ︳≠0⇔AX=0有唯一零解⇔AX=b有唯一解⇔r(A)=n⇔A的行(列)向量组线性无关，或用反证法。
3.伴随矩阵A＊：理解伴随矩阵的概念，注意Ai j与A＊的联系，能熟练得出A，A-1，A＊，(A＊)-1，︳A ︳，︳A＊︳之间的关系，如(1)︳A＊︳=︳A ︳n-1，(2)若A可逆，(A＊)-1=1/︳A ︳A，A＊=︳A ︳A-1。若公式中将A代入kA时，有(kA)(kA)＊=︳kA ︳E，得(kA)＊=kn-1A＊；若公式中将A代入A＊时，有A＊(A＊)＊=︳A＊︳E，得(A＊)＊=︳A ︳n-2A.A＊的秩只有n，1，0三种可能，且https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/O5RGCoxmEZxz9biaS6AZhrMhJokkOSJX50UA3XC8j7TdrmPhicjuKyQSlmsZiaUUQvT6tqTKTibegHdfcWVYv767iaw/640?wx_fmt=png4.矩阵方程：矩阵方程的试题较多，这类试题具有定的综合性，既考查了利用矩阵运算法则、性质等把方程化简，又考查了具体的数值计算。解这类试题要求分二步走，“先化简”，写出所求矩阵的最简表达式，再代入具体的数值矩阵，进行数值运算(如题2.3)。
5.初等变换、初等阵、矩阵的秩及等价矩阵理解初等变换的概念，了解初等阵及其性质，能将矩阵的初等变换表达成矩阵乘初等阵，反之能将矩阵乘初等阵翻译成作初等变换(如题2.1～2.3)理解矩阵秩的概念，掌握用初等变换求秩及逆矩阵的方法。
6.分块阵：了解分块阵及其运算，会求分块对角阵的n次幂及分块对角阵的逆等。
第三章、向量思考与点拨
向量组的线性相关性是线性代数中的难点，也是考试的重点，考生应深刻理解线性相关性的内在的含义外，还应与线性表出、向的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解。本章试题大致有以下四个部分:
1.向量的线性表出向量β能否由向量组α1，α2，…αs，线性表出⇔方程组α1x1+α2x2+…αs x n=[α1，α2，…αs]X=An×s X=β是否有解，其解即是表出系数⇔r(A)和r(A︳β)是否相等。若α1，α2，…αs线性无关，α1，α2，…αs，β线性相关，则β可由α1，α2，…αs线性表出，且表出法唯一。若α1，α2，…αs线性相关，则至少存在一个向量αi可由其余向量线性表出。向量组(I) β1，β2，…βs中任一个向量βi(1，2，…，s)都可由(Ⅱ) α1，α2，…αs线性表出，称向量组(I)可由向量组(Ⅱ)线性表出，两组向量可以相Ⅰ互表出，则称两向量组等价，等价向量组等秩，反之不成立。
2.向量组线性相关性的判别和证明要说明或证明向量组α1，α2，…αs线性相关，只要求出(观察出)有不全为零的数k1，k2，…ks，使k1α1+k2α2+…+ksαs=0.即说明或证明方程组有k1α1+k2α2+…+ksαs=0有非零解。证明一组向量α1，α2，…αs线性无关，有两类题型：(1)若题设条件中只有一组向量(附有一些其他条件)，则应利用定义证明(实质上是反证法)；(2)若已知一组向量线性无关，要证另一组向量也线性无关，则可以用定义证明，也可以用等价向量组、秩、方程组等方法证明(例题2.5)。
3.求向量组的极大线性无关组及向量组的秩应理解向量组的极大线性无关组的概念，并掌握其求法。https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/O5RGCoxmEZxz9biaS6AZhrMhJokkOSJX5icycUEiaWqdI8c40laowq7koRnDjiaNPIr8yjeO7TR6iaFRzl8vLQpUcZA/640?wx_fmt=png则向量组α1，α2，…αs和α1＇，α2＇，…αs＇是等价向量组，等价向量组等秩。A=[β1，β2，…βs][ β1＇，β2＇，…βs＇]，则β1，β2，…βs与β1＇，β2＇，…βs＇中任何对应的部分向量组有相同的线性相关性。向量组极大线性无关组不唯一，但极大无关组的向量个数是唯一的，此数即是向量组的秩。
4.向量空间，要求了解向量空间、子空间、解空间，基、维数，坐标等概念，了解基变换公式、坐标变换公式，会求过渡矩阵，掌握施密特标准正交化方法，这部分内容相对试题较少，从1987年考研数学统考以来，共出过4题，二个题是过渡矩阵的(例题1.1)，一题是求解空间的标准正交基，一题是求一个向量在一组基下的坐标。https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/znb3qSD7qtlIZ2XKJhCHR8kLT2a8UYxhqd0DLdcxYVrcMViaz9729IEoRc5FXHpJb5icU0a3M9aZ5G5QLcw6YvVg/640?wx_fmt=jpeghttps://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/znb3qSD7qtnoO81Od0rgspdUs2sh1AKzoMUYRhaaF94NicfDkBJ8fqCZlX2MKO7Q9F9OMQY6jRbOTYLejaTxY3A/640?wx_fmt=png
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