第六章、二次型
思考与点拨
二次型的试题,相对而言,出现的频率较低,一般来说,线性代数的两个大题中,般有个出自矩阵的特征值、特征向量或二次型这两章之中。
二次型的中心问题有两个:
1.化二次型为标准形规X形问题,大纲要求会用配方法和正交变换法化二次型为标准形、(正交变换只能化标准形)规X形(初等变换法不要求),用矩阵的语言,实对称阵A合同于对角阵Λ,即求可逆阵C,使得CTAC=Λ,或求正交阵Q,使得Q-1AQ=QTAQ=Λ的问题。
2.二次型(及对应矩阵A)的正定性的判别与证明的问题。
注意:
(1)在线性代数中研究二次型,首先要求将二次型表示成矩阵形式,即f(x1,x2,…xn)=XTAX,其中An×nT=A,X=[x1,x2,…xn]T,这样A和f一一对应,r(A)=r(f),A正定即f正定(见题3.4)。
(2)用正交变换只能化二次型为标准形,且其标准形的系数就是A的特征值(见题1.1,3.1).而正交变换矩阵由A的单位正交特征向量组成,即Q=[ξ10,ξ20,…ξn0],其中
(3)对具体的数值二次型或实对称阵(或含有参数),其正定性一般用顺序主子式大于零判别,当然也可化成标准形,f或A正定⇔正惯性指数=n(未知量的个数),若f(x1,x2,…xn)已是正的平方和,则f(x1,x2,…xn)≥O,只需证明f=O⇔X=0,则X≠0,有f>0.即正定,二次型正定性的证明般用定理(正定的充分必要条件),最后的办法是用定义。
(4)两个二次型(或实对称阵)合同⇔有相同的正、负惯性指数⇔相同的正惯性指数和秩。